tugas. bab.3 ukuran pemusatan data

Bab. 3 Ukuran pemusatan data

Ukuran Pemusatan

A.Pengertian Ukuran Pemusatan

            Ukuran pemusatan adalah sembarang ukuran yang menunjukan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua populasi atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi atau masing-masing anggota data contoh. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.Untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data, baik sampel maupun populasi, diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil dari kumpulan data tersebut.

B. Bagian-bagian Ukuran Pemusatan

·      Rata-rata ( hitung, ukur, harmonik)

Nilai rata-rata merupakan salah satu ukuran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang sekumpulan data mengenai sesuatu persoalan, apakah tentang sampel ataupun populasi selain penyajian melalui daftar atau diagram. Nilai rata-ratamerupakan salah satu dari ukuran gejala pusat. Nilai rata-rata ini merupakan wakil dari kumpulan data, atau nilai rata-rata dianggap suatu nilai yang paling dekat dengan hasil ukuran yang sebenarnya. Nilai rata-rata yang diperoleh dari hasil pengukuran sample disebut statistik sedangkan nilai rata-rata yang diperoleh dari hasil perhitungan populasi disebut parameter. Jadi untuk ukuran yang sama dapat disebut statistik dan dapat pula disebut parameter, hal ini tergantung dari pemakaiannya apakah dalam sample atau dalam populasi.

Selanjutnya nilai rata-rata dapat dibedakan menjadi 3, yauitu rata-rata hitung, rata-rata ukur, dan rata-rata harmonik.

Ø Rata-rata hitung

Rata-rata hitung yang mengitung rata-rata sebenarnya dari data misalnya Rata-rata nilai mata kuliah statistika untuk mahasiswa fkip matematika universitas sriwijaya, Rata-rata jumlah pencari kerja selama tahun 1990 sampai 2004 yang terdaftat di Disnaker Surabaya.

Rata-rata hitung adalah rata-rata yang paling sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Adapun untuk data tunggal, rumus dalam menghitung rata-rata dapat menggunakan tiga cara. Dalam hal ini hanya akan dibahas satu cara yaitu:

untuk data tunggal dan

Untuk data kelompok dimana

 i=1,2, k (k adalah banyaknya interval kelas) , fi adalah frekuensi kelas ke-I dan Xi adalah nilai tengah kelas ke- i.
Misalnya kita memiliki data hasil ujian 25 orang siswa/i matematika SMP 1 sebagai berikut:

79  63  72  82  74
36  42  67  51  88
68  73  78  77  96
67  67  48  41  57
91  45  83  71  50

Maka kita dapat menghitung rata-rata nilai siswa SMP 1 untuk mata pelajaran matematika dengan menggunakan rumus di atas sebagai berikut

jadi rata-ratanya adalah (x ̅) = 66,64


Jika data di atas kita buat dalam bentuk kelompok, maka yang pertama yang harus dilakukan adalah membuat tabel distribusi seperti dibawah ini:

Dengan menggunakan rumus di atas maka kita dapat menentukan rata-rata dengan cara:

bandingkan hasil perhitungan data kelompok dengan data tunggal!!

kita menemukan bahwa menghitung mean pada data berkelompok menghasilkan nilai yang berbeda dengan menghitung mean pada data tunggal. Aspek ramalan yang kita gunakan pada penentuan mean dengan menggunakan data berkelompok turut menentukan hasil mean yang kita temukan. Ternyata menentukan mean dengan tidak mengelompokkan data lebih tepat daripada kita mengelompokkan data terlebih dahulu. tingkat ketempatan akurasi ini dikarenakan dengan menggunakan data tunggal, maka yang kita hitung adalah data sebenarnya.

Ø Rata-rata ukur

Mengukur tingkat perubahan ( rate of change) untuk data nilai positif. Rata ukur dipergunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang perbandiangan tiap 2 data berurutannya tetap atau hampir tetap. Untuk data yang bernilai x_1,x_2,.....x_n maka rata-rata ukur u didefinisikan oleh :

                                                                           

u : rata-rata ukur

n :  banyak sampel

Ø Rata-rata harmonik

Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x₁, x₂, …, x_n adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:

Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.

·           Median

Median adalah salah satu ukuran pemusatan data, yaitu, jika segugus data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau yang terbesar sampai yang terkecil, nilai pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila jumlah datanya ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan genap.

Untuk data populasi median dilambangkan dengan . Sedangkan untuk data contoh, median dilambangkan dengan .

Jika nilai-nilai dalam suatu data telah diurutkan, maka median dari data itu dapat ditentukan sebagai berikut.

1.      Jika ukuran data n ganjil, maka median nya adalah nilai datum yang tengah atau nilai datum yang ke  .

Ditulis :

Median =

2.      Jika ukuran data n genap, maka mediannya adalah rataan dari dua nilai datum yang ditengah atau rataan dari nilai datum ke  dan nilai datum ke .

Ditulis :

Median =

Kelebihan

Kelebihan dari median adalah terletak pada kemudahan untuk dihitung jika jumlah l dan median sama sekali tidak dipengaruhi oleh nilai pencilan.

Kekurangan

Kekurangan dari median adalah nilai median relatif tidak stabil bahkan untuk data dalam populasi yang sama.

Sebagai contoh kita hitung median dari data sebelumnya.

Data hasil ujian 25 orang siswa/i matematika SMP 1 sebagai berikut:

36,41,42,45,48,50,51,57,63,67,67,67,68,71,72,73.74,77,78,79,82,88,91,96

Jadi Median =

                

·           Modus

Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi digunakan ukuran modus (Mo). Dalam banyak hal, modus ini sering digunakan sebagai rata-rata untuk data kuantitatif.  Misalkan ada pernyataan sebagai berikut :

Umumnya kecelakaan lalu lintas disebabkan oleh kecerobohan pengemudi. Ini tidak lain adalah modus. Karena modus adalah kejadian yang banyak terjadi, maka untuk data kuatitatif, modus ditentukan dengan melihat frekuensi terbanyak diantara data itu.

Jika data kuantitatif sudah disusun dalam daftar sekitar frekuensi, maka modus ditentukan dengan rumus :

Dengan :

b : batas bawah kelas Mo (dengan frekuensi terbanyak)

p : panjang kelas Mo

b₁ : frekuensi kelas Mo dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b₂ : frekuensi kelas Mo dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

           

sebagai contoh, kita menghitung modus dari data yang sama.

Ada suatu data yang hanya mempunyai satu modus disebut unimodus, mempunyai dua modus disebut bimodus, dan ada pula data yang mempunyai lebih dari dua modus disebut multimodus.

 Hubungan Empiris antara Rataan, Median dan Modus

Meskipun suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.

• Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya sama.
• Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus
• untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean > median > modus.

Hubungan antara ketiga ukuran tendensi sentral untuk data yang tidak berdistribusi normal, namun hampir simetris dapat didekati dengan menggunakan rumus empiris berikut:

rataan – modus = 3 (rataan – Median)

·      Kuartil

Ø Data Tunggal

Untuk statistik jajaran  dengan ukuran data n > 4, dapat ditentukan 3 buah nilai yang membagi statistik jajaran itu menjadi 4 bagian yang sama. Ketiga nilai ini disebut kuartil, yaitu :

1.      Kuartil pertama (Q₁) mempartisi data menjadi ¼ bagian.

2.      Kuartil  kedua (Q₂) mempartisi data menjadi 2/4 bagian. Disini tampak bahwa Q₂ tidak lain adalah median.

3.      Kuartil ketiga (Q₃) mempartisi data menjadi ¾ bagian.

Langkah-langkah untuk mencari kuartil adalah:

Langkah 1

Pertama-tama tentukam median atau kuartil kedua Q₂.

Langkah 2

-          Kuartil pertama Q₁ ditentukan sebagai median semua nilai datum yang kurang dari Q₂.

-          Kuartil ketiga Q₃ ditentukan sebagaisemua nilai datum yang lebih dari Q_2.

Ø Data Kelompok

Nilai Q₁,Q₂, dan Q₃ dari data kelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut.

Dengan:

L₁           = tepi bawah kelas yang memuat kuartil pertama Q₁

    = jumlah frekuensi sebelum kuartil pertama Q₁

f₁                = frekuensi kelas yang memuat kuartil pertama Q₁

Dengan :

L₂           = tepi bawah kelas yang memuat median atau kuartil kedua Q₂

    = jumlah frekuensi sebelum kuartil kedua Q₂

f₂                = frekuensi kelas yang memuat kuartil kedua Q₂

L₃           = tepi bawah kelas yang memuat kuartil ketiga Q₃

    = jumlah frekuensi sebelum kuartil ketiga Q₃

f₃                = frekuensi kelas yang memuat kuartil ketiga Q₃

Contoh

Tentukan nilai kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga untuk data berkelompok tentang hasil pengukuran (dalam mm) pada tabel berikut.

Hasil Pengukuran	Titik tengah (xi)	Frekuensi
119 – 127	123	3
128 – 136	132	6
137 – 145	141	10
146 – 154	150	9
155 – 163	159	7
164 – 172	168	3
173 - 181	177	2

Jawab :

(a)   

Jadi kuartil pertama adalah

(b)  

(c)   

Jadi kuartil ketiga adalah

·      Desil

Ø  Data Tunggal

Untuk statistik jajaran dengan ukuran data n > 10, dapat ditentukan 9 buah nilai yang membagi statistik jajaran itu menjadi 10 bagian yang sama. Kesembilan buah nilai itu disebut desil, yaitu:

ü  Desil pertama (D₁) mempartisi data menjadi  bagian dan  bagian.

ü  Desil kedua (D­₂) mempartisi data menjadi  bagian dan  bagian, ...., demikiam seterusnya.

Jika suatu data telah dinyatakan dalam bentuk statistik jajaran, maka desil ke-i ditetapkan terletak pada nilai urutan yang ke

Dengan i = 1,2,3,.... 9 dan n adalah ukuran data

Jika nilai urutan yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung desil diperlukan pendekatan interpolasi linear.

Jika desil terletak pada nilai urutan antara k dan k+1 dan d adalah bagian desimal dari nilai urutan tersebut maka nilai desilnya adalah:

Ø  Data Kelompok

Desil dari suatu data yang telah dikelompokkan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut ini.

Dengan:

            i           = 1,2,3,...9

D_i         = desil ke-i

L_i         = tepi bawah kelas yang memuat desil ke-i

= jumlah frekuensi sebelum desil ke-i

           = frekuensi kelas yang memuat desil ke-i

n          = ukuran data

c           = panjang kelas

·      Persentil

            Persentil adalah ukuran letak yang membagi gugs data menjadi 100 bagian yang sama besar. Persentil digunakan Untuk kelompok data dimana n ≥ 100, dapat ditentukan 99 nilai, P₁, P₂, … P₉₉, yang disebut persentil pertama, kedua dan ke-99, yang membagi kelompok data tersebut menjadi 100 bagian,masing-masing mempunyai bagian dengan jumlah observasi yang sama, dan sedemikian rupa sehingga 1% data/observasi sama atau lebih kecil dari P₁, 2% data/observasi sama atau lebih kecil dari P_2.

a.    Rumus persentil untuk data tunggal

i =1,2,3, . . . 99

n: banyak data

Contoh

Terdapat sebanyak 253 data yang sudah tersortir ascending. Data ke-190 bernilai 175 dan Data ke-191 bernilai 180. Data ke-50 bernilai 45 dan Data ke-51 bernilai 48. Data ke-165 bernilai 100 dan Data ke-166 bernilai 102. Tentukan persentil ke-65!

Penyelesaian :

Nilai Persentil ke-65    = Data ke 165 + 0.1 (Data ke-166 – data ke-165)

                                                = 100 + (0.1´ 2) = 100 + 0.2 = 100.2

b.    Rumus persentil untuk data berkelompok

       

p = 1, 2, 3, . . . 99

            n: banyak

 Persentil ke-p      =            TBB Kelas Persentil ke-p + i

                                                atau

Persentil ke-p    =            TBA Kelas Persentil ke-p - i

di mana

TBB                : Tepi Batas Bawah

s                       : selisih antara Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi Kumulatif sebelum                              kelas Persentil ke-p

TBA                : Tepi Batas Atas

s’                     : selisih antara Frekuensi Kumulatif sampai kelas Persentil ke-p dengan  letak   Persentil ke-p

i                       : interval kelas

f _P                    : Frekuensi kelas Persentil ke-p

Contoh :

Tentukan Persentil ke-56

Kelas	Frekuensi	Frek. Kumulatif
16 – 23	10	10
24 – 31	17	27
32 – 39	7	34
40 – 47	10	44
48 – 55	3	47
56 – 63	3	50
S	50	----

                        Kelas Persentil ke-56

interval = i = 8

Letak Persentil ke-56 =  =  = 28

Persentil ke-56 = Data ke-28 terletak di kelas 32 - 39

 \Kelas Persentil ke-56 = 32 - 39

            TBB Kelas Persentil ke-56 = 31.5      dan      TBA Kelas Persentil ke-56 = 39.5

f _P56 = 7

            Frek. Kumulatif sebelum Kelas Persentil ke-56 = 27 ®        s  = 28 - 27 = 1

            Frek. Kumulatif sampai Kelas Persentil   ke-56 = 34 ®        s’ = 34 - 28 = 6

Persentil ke-5              =          TBB Kelas Persentil ke-56 + i

=          31.5 + 8  =  31.5 +  8 (0.142...)

=          31.5 + 1.142..  =   32.642...

Persentil ke-56            =          TBA Kelas Persentil ke-56 - i

=          39.5 - 8  =  39.5 -  8 (0.857...)

=          39.5 - 6.857...  =  32.642...